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                                                                                 A  Fita  de  Möbius  (    )

                                                                                                                                                    J. R. Araújo

 

 

Em 1858, o  matemático e astrônomo  alemão Auguste Ferdinand Möbius (1790-1868) ao pesquisar o desenvolvimento de uma Teoria dos Poliedros, dando continuidade aos trabalhos de Euler (1707-1783), descobriu uma curiosa superfície que ficou conhecida com  seu  nome, a Fita de Möbius. 

   Auguste Ferdinand Möbius, astrônomo e matemático alemão (1790-1868).

Uma  tira simples, na forma de  um cinto, tem  duas  superfícies distintas ( uma interna e outra externa )  limitadas por duas margens. Para mover-se de uma superfície para outra, tem-se  que cruzar  uma  das  margens. A  fita  de  Möbius  tem  uma  única  superfície, limitada  por  apenas uma  margem ! 

 

                                                                                    

                                                       Fita  simples                                                          Fita  de  Möbius   

 

Movendo  um  de  seus  dedos ( ou fazendo  o  traçado  com  um  lápis )  ao  longo do comprimento  da  fita, trará você exatamente ao ponto de partida. Isso também significa que  você passou  para o lado "oposto" sem  cruzar  as  margens  e  nem se  deu conta deste  fato. Agora, passe  o  dedo  ao  longo  de  uma  margem;  você  verá  que a  fita tem  apenas  uma  margem, i.e.,  uma  superfície  limitada  por  apenas uma  linha ! ! !

 

                                                                          

                                                                                 Animação  da Fita de Möbius

  

Um  modelo  pode ser  facilmente  confeccionado  com  uma  tira  de  papel  e  cola ou  fita adesiva,  conforme  esquema  abaixo:      

                                                                      

Em  termos  matemáticos  a  Fita de Möbius  é  definida  como  uma  superfície   não-orientável, o que  significa dizer que uma linha perpendicular ( normal ) ao plano  não tem a mesma direção em todos os  pontos da superfície.

Curiosidades - O que faz desse artefato simples algo tão maravilhoso é que a Fita de Möbius, além de suas características principais, tem as seguintes características adicionais:

         1     Se a fita for cortada ao meio, ao longo de seu comprimento, ao invés de se ter duas tiras separadas, teremos uma  tira  mais  longa contendo duas meia-voltas.

         2     Novamente  cortando  como  antes, teremos  agora  duas  tiras interligadas de forma curiosa. 

Agora, corte  ao  longo  do  comprimento,  a  uma  distância  de  1/ 3  da  largura a  partir  de  uma  das  margens  e  veja  o  que  acontece ! 

Se tomarmos a tira de papel e, ao invés de dar meia-volta, dermos uma, duas ou mais voltas  e colarmos as extremidades, teremos figuras surpreendentes denominadas Anèis Paradrômicos. Tem muito mais sobre a Fita de Möbius; por enquanto, fiquemos  por aqui.                                  

E então ? No próximo final de semana pegue folhas de papel, tesoura, cola e junte-se às crianças. Além de divertido, elas certamente gostarão mais de Matemática . . .

 

 

Recife,

Setembro 2004

 

J.R. Araújo

e-mail - zecaro108@yahoo.com.br

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REFERÊNCIAS

Universidade de Michigan,Virtual Reality Laboratory – http://www.vrl.umich.edu  -  site acessado em setembro de 2004.

Vesna Petresin and Laurent-Paul Robert, "The Double Möbius Strip Studies", Nexus Network Journal, vol. 4, nº. 4 (Autumn 2002)    http://www.nexusjournal.com/PetRob.html 

A  animação  da  Fita  de  Möbius  publicado  no  site  http://www.ajax.org

 

                 

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