A Fita de Möbius
( 
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J. R. Araújo
Em 1858, o matemático e astrônomo
alemão Auguste Ferdinand Möbius (1790-1868) ao pesquisar o
desenvolvimento de uma Teoria dos Poliedros, dando continuidade aos
trabalhos de Euler (1707-1783), descobriu uma curiosa superfície que ficou
conhecida com seu
nome, a Fita de Möbius.
Auguste Ferdinand Möbius, astrônomo
e matemático
alemão (1790-1868).
Uma tira simples, na forma de um cinto, tem duas superfícies distintas ( uma interna e outra externa ) limitadas por duas margens. Para mover-se de uma superfície para outra, tem-se que cruzar uma das margens. A fita de Möbius tem uma única superfície, limitada por apenas uma margem !
Fita simples
Fita de
Möbius
Movendo um de seus dedos ( ou fazendo o traçado com um lápis ) ao longo do comprimento da fita, trará você exatamente ao ponto de partida. Isso também significa que você passou para o lado "oposto" sem cruzar as margens e nem se deu conta deste fato. Agora, passe o dedo ao longo de uma margem; você verá que a fita tem apenas uma margem, i.e., uma superfície limitada por apenas uma linha ! ! !
Animação da Fita de Möbius
Um modelo pode ser facilmente confeccionado com uma tira de papel e cola ou fita adesiva, conforme esquema abaixo:
Em termos matemáticos a Fita
de Möbius é definida como uma superfície
não-orientável, o que significa dizer que uma linha perpendicular ( normal )
ao plano não tem a mesma direção em todos os
pontos da superfície.
Curiosidades - O
que faz desse artefato simples algo tão maravilhoso é que a Fita de Möbius,
além de suas características principais, tem as seguintes características
adicionais:
1 Se a fita for cortada ao meio, ao longo de seu comprimento, ao invés de se ter duas tiras separadas, teremos uma tira mais longa contendo duas meia-voltas.
2 Novamente
cortando como
antes, teremos agora duas tiras interligadas de forma curiosa.
Agora, corte ao longo
do comprimento,
a uma
distância de
1/ 3 da largura
a partir
de uma
das margens
e veja
o que acontece !
Se tomarmos a tira de papel e, ao invés
de dar meia-volta, dermos uma, duas ou mais voltas e colarmos as extremidades, teremos figuras surpreendentes
denominadas Anèis Paradrômicos. Tem muito mais sobre a Fita de Möbius, por
enquanto, fiquemos por aqui..
E então ? No próximo final de semana, pegue folhas de papel, tesoura, cola e junte-se às crianças. Além de divertido, elas certamente gostarão mais de Matemática . . .
Recife,
Setembro 2004
J.R. Araújo
e-mail - zecaro108@yahoo.com.br
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REFERÊNCIAS
Universidade de Michigan,Virtual Reality Laboratory – http://www.vrl.umich.edu
Vesna Petresin and Laurent-Paul Robert, "The Double Möbius Strip Studies", Nexus Network Journal, vol. 4, nº. 4 (Autumn 2002) http://www.nexusjournal.com/PetRob.html
A animação da Fita de Möbius aparece no site http://www.ajax.org
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