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No estudo das Funções Matemáticas, freqüentemente nos deparamos com funções com um comportamento peculiar. Quando as variáveis se aproximam de um determinado valor, essas funções tendem rapidamente a valores muito grandes tendo o infinito como limite.

Tabela para valores da função acima

À medida que a variável “x” se aproxima de zero, pela direita ou pela esquerda, isto é, para valores positivos ou negativos, a função, tendo um denominador cada vez menor, assume valores cada vez maiores, sempre com um sinal negativo conforme tabela ao lado. Assim a função se aproxima rapidamente de infinito negativo, embora nunca assuma exatamente esse valor, mas o tenha como limite. Funções que apresentam esse tipo de comportamento são funções singulares e o ponto onde x = 0 é chamado de uma singularidade. A importância de funções singulares é que elas se prestam muito bem para a descrição de alguns fenômenos físicos, notadamente os que envolvem equações de potenciais elétricos ou gravitacionais. Os valores negativos, ou o gráfico com singularidade para baixo, indica, em física, que o potencial é de atração como no caso de forças gravitacionais.

Notemos como no eixo (+Y,-Y) o gráfico tende para valores "negativo infinito" ou (-y) quando x se aproxima de zero, pela direita (+x) ou pela esquerda (-x).

Densidade

Todo corpo é constituído de matéria e esta ocupa um lugar no espaço, denominado volume. À quantidade de matéria num determinado volume chama-se densidade. Portanto, quanto mais matéria num determinado volume, dizemos que mais denso é o corpo. Se tivermos um quilograma (1 Kg) de algodão e chumbo, veremos que o algodão ocupa um volume maior. O chumbo se nos parecerá “mais pesado” embora tenham a mesma massa (1 Kg). Na verdade o chumbo é mais denso ou mais compacto, pois ocupa a mesma massa que o algodão em volume menor e isso nos dá a impressão do chumbo ser mais pesado. Sabemos que um edifício por ter uma enorme massa é também muito pesado. Lembremos que “peso” é a força com que a gravidade da Terra atrai a massa dos corpos. Assim próximo à superfície da Terra, quanto maior a massa de um corpo, maior será o seu peso.

Um edifício não é um objeto muito compacto. Há muito espaço vazio entre os cômodos dos seus andares, entre suas paredes, pisos e tetos devido à porosidade dos materiais que o compõem e os pequenos espaços não preenchidos entre esses materiais etc. Suponha que pudéssemos compactar todo o edifício, eliminando todos esses espaços, porosidades e vazios, de tal maneira que o edifício ficasse do tamanho de uma bolinha de ping-pong como na figura ao lado. O edifício, todavia, embora pequeno, teria a mesma massa que antes e, por conseguinte o mesmo peso. Ninguém o conseguiria levantar! Na verdade, nossa bolinha (edifício) teria todo seu peso aplicado sobre uma pequena área do solo, exercendo assim uma pressão tremenda e faria, no solo, um buraco profundo! A densidade ou o peso, nesse caso, assemelhar-se-ia à uma singularidade.

Espaço nos átomos

O atual conceito da Física Quântica, afirma que os elétrons circulam o núcleo dos átomos em órbitas e energias bem definidas. O átomo de Hidrogênio é o mais simples, composto de um elétron, de carga negativa, circulando um próton, positivo, no seu núcleo. O núcleo dos átomos dos demais elementos é composto de prótons e nêutrons, estes sem carga elétrica. No caso do átomo de Hidrogênio, o elétron circula o próton a uma distância de 0,0000000079 cm ou em notação científica, 0,79 x 10^–
8 cm.

Para se ter uma idéia, suponha que, tomando o Hidrogênio como modelo, fizéssemos um elétron do tamanho de uma cabeça de alfinete. O próton seria da ordem aproximada de 1,40 m (um metro e quarenta centímetros) e estaria a uma distância ( R ) de quase oito quilômetros do elétron. Essa distância aproximadamente duplica para os átomos com muitos elétrons. Há, portanto, muito espaço vazio nos átomos. O mesmo ocorre no interior do núcleo, com muito espaço vazio entre os prótons e os nêutrons. Imagine se no caso do edifício, além de compactar os espaços vazios, como descrevemos acima, ainda eliminássemos o espaço dentro dos átomos e dos núcleos. O volume do edifício ficaria microscópico !!!

Curvatura do Campo Gravitacional e Singularidade

Quando um corpo tem uma enorme quantidade de massa, a Teoria Geral da Relatividade (TGR) de Einstein prevê uma distorção no campo gravitacional nas proximidades desse corpo. Essa distorção ou curvatura do campo gravitacional (espaço-tempo) em torno do objeto é tanto mais acentuada, quanto maior for a massa ou densidade do corpo.

Podemos entender essa idéia, tomando como exemplo uma rede em duas dimensões como mostrada na figura ao lado, representando o campo gravitacional. Ao passar muito próximo à singularidade, um corpo é atraído e precipita-se em direção ao centro. Vemos também que mesmo passando pelas vizinhanças de uma singularidade, se um corpo tem uma grande velocidade, ele pode escapar à força de atração formada pelo potencial gravitacional.

Embaixo, temos a representação do espaço-tempo na ausência de qualquer matéria (A). Neste caso não há qualquer deformação no espaço-tempo, pois nenhuma massa existe capaz de deformá-lo. Nas vizinhanças de uma estrela massiva (B), ocorre uma deformação no espaço-tempo causada pelo campo gravitacional da estrela. Na presença de um buraco negro (C) ocorre uma verdadeira singularidade devido à força gravitacional desse objeto causada pela sua imensa densidade (massa).

Um interessante efeito por demais conhecido é chamado de “Lentes Gravitacionais” e ocorre quando um corpo de grande massa, relativamente próximo da Terra, passa, em seu trajeto, entre nosso planeta e uma estrela ou galáxia distante.

Os raios de luz, provenientes dessa estrela ou galáxia, são desviados pelo corpo massivo, pela deflexão causada por sua força de gravidade ou em outras palavras, sua distorção do espaço-tempo. A imagem observada da estrela ou galáxia distante é significantemente ampliada, por isso este fenômeno recebe o nome de lente gravitacional.

John Michell, em 1783, usando as Teorias Corpuscular da Luz e da Gravitação Universal, ambas de Isaac Newton, chegou à conclusão de que uma estrela com a massa de 500 vezes a massa do Sol, poderia exercer uma força de atração gravitacional sobre um determinado objeto, de tal forma que este só escaparia à ação dessa força se tivesse uma velocidade maior que a da luz. Michell denominou uma estrela com esse comportamento de “estrela negra”, visto que não emitiria luz. Trabalhando independentemente, a mesma conclusão foi obtida por Pierre Laplace em 1796. Somente em 1918, a Teoria Geral da Relatividade de Einstein predisse que objetos massivos e em rotação arrastam o espaço e o tempo em torno dele à medida que giram. Em 1997, a NASA efetuou experimentos com equipamentos em espaçonaves encontrando evidências que apóiam esse efeito.

Em Novembro de 1915, Einstein publicou o artigo “As Equações do Campo Gravitacional” contendo as equações que viriam compor sua Teoria Geral da Relatividade. Imediatamente após a publicação, Karl Schwarzschild (1873-1916), um físico matemático alemão, encontrou as soluções dessas equações que correspondem ao campo de gravidade de um objeto massivo e compacto, fato esse que causou surpresa ao próprio Einstein, que em carta a Schwarzschild declarou: eu não esperava que alguém pudesse formular as soluções exatas do problema de uma maneira tão simples. Em termos gerais e usando a teoria dos tensores, a equação proposta por Einstein é dada pela expressão :

Na teoria matemática dos tensores o primeiro termo da equação é conhecido como tensor covariante fundamental de segunda ordem, o que significa dizer que é válido para qualquer transformação no sistema de coordenadas e para todo e qualquer sistema de coordenadas escolhido. Fisicamente refere-se ao potencial gravitacional de um objeto, cuja massa cause uma deformação no espaço-tempo; contém informação de como o campo gravitacional se curva pela presença de um corpo massivo. O segundo termo, também em notação tensorial, descreve a energia pertinente a esse corpo em relação ao campo gravitacional em que se encontra, bem como traz informações de como esse objeto se move. Essa equação mostra o princípio de “como a matéria diz ao espaço-tempo como se curvar e o espaço curvado diz a matéria como deve se mover” como bem explicou John Wheeler, da Princeton University.

A equação também pode ser representada em termos diferenciais, que foi a forma com que Schwarzschild a resolveu. O trabalho de Schwarzschild tinha um cunho puramente teórico, mas as soluções aplicam-se aos problemas que envolvem estrelas de nêutrons, pulsares e buracos negros, sendo considerado o trabalho mais importante de Astronomia desde então. Esses dois trabalhos, de Einstein e Schwarzschild, são a base para o estudo sobre buracos negros, termo este que foi usado pela primeira vez por John Wheeler.

Existem quatro formas de representar uma singularidade e que oferece quatro soluções diferentes: ao supor o corpo girando em torno do próprio eixo (rotação) ou não e contendo carga elétrica ou sem carga.

3- corpo com carga e sem rotação – solução de Reissner – NordstrØm (1916)

A solução de Schwarzschild é a mais simples de todas, visto que o buraco negro é estático e sem cargas elétricas. Ela determina que o raio de Schwarzschild (Rs) é uma distância do centro do buraco negro até uma certa região limite. Qualquer corpo que se aproxime além desse limite, também conhecido como “Horizonte dos Eventos”, não poderá escapar de ser engolido pelo buraco negro.

O raio de Schwarzschild é dado por

Formação de um Buraco Negro

Quando uma nuvem de gás e poeira cósmica se condensa por meio das forças gravitacionais de atração, a massa dessa aglomerado tem papel preponderante. Os astrônomos e astrofísicos tomam a massa do planeta Júpiter como referência. Se a massa do corpo em formação for em torno de 84 vezes a massa de Júpiter ( Mj ) as forças gravitacionais internas, serão fortes o suficiente para começar um processo de fissão nuclear e, mais tarde, de fusão, quando os átomos de Hidrogênio se fundem formando núcleos de Hélio e liberando em seguida enormes quantidades de energia. Nesse momento, uma estrela nasce. Caso a massa seja menor, mas próxima de 80 vezes a Mj, não teremos a formação de uma estrela, mas de uma quase estrela, conhecida como anã marrom. O Sol tem cerca de 1.000 vezes a massa de Júpiter. Ao final da vida de uma estrela, se sua massa for entre 2 a 3 vezes a massa do sol ela se tornará uma estrela de nêutrons, quando sofre uma tremenda compactação e os elétrons se precipitam ao núcleo dos átomos, fundindo-se com os prótons, formando nêutrons e com liberação de neutrinos.

No caso específico de uma estrela com massa igual ou superior a quatro vezes a massa do Sol, a compactação é tão violenta, que há a degenerescência de todos os elétrons, prótons e nêutrons e há o colapso de toda a massa em direção ao centro, concentrando-se num ponto muito pequeno, com uma densidade espetacular, formando uma perfeita singularidade a que chamamos de Buraco Negro. Alguns Buracos Negros têm o tamanho de um ponto gráfico desta página ! Na representação ao lado, vemos a contração de um volume em direção ao centro, tal como ocorre com uma estrela. No estágio final, vemos um anel ou o que seria a representação dos limites ou raio de Schwarzschid. Esta região limite é denominada horizonte dos eventos. Quando um objeto segue em direção ao buraco negro, uma vez ultrapassado o horizonte dos eventos, apenas seria possível seu retorno se tivesse uma velocidade de escape maior que a velocidade da luz. Nenhuma matéria pode escapar de um buraco negro, nem mesmo a luz, sendo este o motivo pelo qual eles são invisíveis, pois não emitem qualquer luminosidade. Toda matéria que se precipite em direção a um buraco negro, atraída pela sua tremenda força de gravidade, emite radiação na forma de raio-x. Como muita matéria é consumida nas imediações de tal singularidade, sempre quando há uma enorme emissão de raio-x numa determinada região do espaço, os astrônomos e astrofísicos voltam suas atenções para esse local, na quase certeza da ocorrência do fenômeno.

Na formulação matemática da Teoria Geral da Relatividade (TGR), Einstein utilizou-se das coordenadas espaciais x-y-z e mais a coordenada espaço-temporal ct como a quarta coordenada, onde c é a velocidade da luz e t é o tempo. Por isso, o espaço que descreve a TGR é representado pelo quadrivetor ou as quatro coordenadas x-y-z-ct. Por esse motivo que na Teoria da Relatividade, o campo gravitacional é chamado de espaço-tempo.

Concepção artística

de um Buraco Negro

Essa não é apenas uma denominação convencional, mas, quando estudamos os fenômenos relacionados com uma singularidade, verificamos que não apenas o espaço em torno dela sofre distorção (curvatura) mas o próprio tempo, em sua essência, é alterado. Se pudéssemos observar um objeto viajando a uma velocidade próxima a da luz em direção a um buraco negro, veríamos que sua imagem se nos chegaria como se fora uma linha reta, independente da forma geométrica do objeto. Além disso, ele se nos pareceria como que quase parado, pois a uma velocidade próxima à da luz o tempo em seu referencial, seria diferente do fluxo do tempo em nosso referencial. Assim como a Teoria Especial da Relatividade nos garante que E = MC² ou que energia e matéria são a mesma coisa à velocidade da luz, há uma correlação semelhante entre espaço-tempo no 'eixo ct' que nos permite afirmar que as transformações que afetam o espaço, também afetam o tempo, quando um objeto viaja à velocidade da luz. Alguns cientistas já admitem a existência dos Tachions, partículas que viajam a velocidades superiores à da luz e podem escapar da enorme força gravitacional dos buracos negros. Os tachions permanecem parados ao perderem velocidade e alcançarem a velocidade da luz. Na verdade deixariam inclusive de existir a essa velocidade.

Atualmente, as proposições da Teoria Geral da Relatividade são cada vez mais corroboradas pelas evidências coletadas pelos astrônomos e astrofísicos nos laboratórios e observatórios que se dedicam à pesquisa, inclusive nos instrumentos de pesquisa colocados em satélites artificiais ou até mesmo em telescópios instalados no espaço, como o Hubble. Há muita pesquisa envolvida em desvendar os segredos do cosmo, não apenas para entender o processo de formação do Universo, seu passado, mas para se conhecer seus mecanismos e, assim, garantir a possibilidade de podermos antecipar o futuro.

Singularidade

Densidade

Espaço nos átomos

Curvatura do Campo Gravitacional e Singularidade

O raio de Schwarzschild é dado por

Formação de um Buraco Negro