****************************************************************************************************
Os caminhos da Natureza
J.R. Araújo
È uma pena que nos cursos de Cálculo e Física, nas áreas de Ciências Exatas, pouca ou nenhuma atenção se dê a um assunto apaixonante e de vital importância àqueles que pretendam ter um entendimento mais profundo dos processos naturais. Quer por um despreparo dos docentes, que ainda não atinaram para a importância do assunto, quer pelo fato desse assunto ser tratado nas páginas finais da grande maioria dos livros textos, o que aparentemente lhe confere um falso status de irrelevância. Refiro-me ao Cálculo das Variações, assim conhecido em Matemática ou Princípio da Ação Mínima na Física.
Cálculo das Variações
Em 1740, o matemático suíço Leonhard Euler
( 1707 - 1783 ) publicou seu famoso trabalho
“ Methodus inveniendi lineas curvas” que,
pode-se dizer, iniciou os estudos acerca do
Cálculo das Variações.
Quais dos caminhos entre a e b dado pelas funções f, g, h ( no gráfico ao lado) é o mais longo ou o mais curto ?
A função J definida pela integral abaixo teria que assumir um valor extremo (máximo, mínimo ou um ponto de inflexão). A função dentro da integral, f , depende das variáveis x, y, e da variação de y em relação à x, ou na linguagem do Cálculo (dy/dx) que é a derivada de y em relação a x, embora, à época, a própria dependência entre y e x ou y(x), nesse caso particular, fosse desconhecida.
a
J = ∫ f (x, y, dy/dx) dx Eq. 1
b
Significa que quando a função f for integrada entre os pontos a e b, J poderá assumir um ponto extremo.
Após intenso trabalho, Euler encontrou uma equação em f que podia satisfazer as condições que pudesse tornar J um extremo. Para simplificar, façamos dy / dx ≡ Yx , e esta equação assume a forma:
d f _ d ∂ f = 0 , Eq. 2
d y d x ∂yx
que é conhecida como a Equação de Euler.
Talvez a aplicação mais simples do Cálculo das Variações seja a determinação do caminho mais curto entre dois pontos.
Considere o gráfico ao lado.
Seja dy = y2 - y1 e dx = x2 – x1.
Fazendo uso do Teorema de Pitágoras
temos que
(ds)2 = (dx)2 + (dy)2 ou
____________ ____________
ds= √(dx)2 + (dy)2 = √ 1+ (dy/dx)2 dx = [1+ (dy/dx)2]1/2 dx
usando essa expressão como f (x, y, dy/dx) na eq. 1 temos:
x2
J = ∫ [1 + (dy / dx)2]1/ 2 dx. Eq. 3
x1
Para que J seja um mínimo, essa integral dá como resultado a conhecida equação
Y(x) = mx + b
que é a equação da linha reta, onde m = dy / dx é a inclinação (derivada) da reta e b é onde a reta intercepta o eixo - yy’, mostrando assim, por meio do Cálculo das Variações que o menor caminho entre dois pontos é uma linha reta, em consonância com a Geometria.
O Princípio da Ação Mínima
O Cálculo das Variações possibilitou a solução de muitos problemas da Matemática e da Física. Apesar de inicialmente ter sido estudado no âmbito da Matemática, foi um problema da Física que estimulou as pesquisas que fizeram surgir o Cálculo Variacional. O problema da Braquistócrona ou da trajetória utilizada por uma esfera ao deslizar num plano, no menor intervalo de tempo possível.
Surge então, a contribuição importantíssima de
Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), um físico-
matemático italiano nascido em Turim, que
nessa época pertencia à França. Qualquer
problema em Mecânica pode ser resolvido
quando podemos determinar as equações do
movimento do sistema considerado. Importantes
aplicações ocorrem quando o integrando f é
substituído por uma expressão conhecida como
Lagrangeano (L) definida como a diferença
entre as energias cinética e potencial do sistema,
L = T – V Eq. 4
Fazendo t (tempo) como a variável independente e x ( t ) (localização do sistema) como a variável dependente do tempo ( t ), temos que dx/ dt é a velocidade da maneira usual.
O Lagrangeano do sistema é dado por
L ( x, dx/dt, t ) = d ∂ L _ ∂ L Eq. 5
d t ∂ ( dx/dt ) ∂ x
e é conhecido como a Equação Lagrangeana do Movimento.
t2
A integral ∫ L ( x, dx/dt, t ) dt = 0 Eq. 6
t1
entre os instantes t1 e t2 é conhecida como a Integral da Ação.
Ela garante que os processos em qualquer sistema ocorrem quando o resultado da integral é um valor estacionário. Na natureza esse valor estacionário é sempre um mínimo. Em outras palavras, os processos naturais ocorrem no menor intervalo de tempo possível, com o menor uso possível de energia.
Isto significa dizer que em todos os processos naturais a ação resultante é mínima.
Como exemplo, tomemos o caminho percorrido pela água ao descer de um ponto elevado para um ponto mais baixo. Qualquer topógrafo sabe que este caminho é o mais íngreme possível e o menos indicado para se empreitar uma subida ! É que devido à ação do campo gravitacional da Terra, a água flui pelos caminhos mais verticais dentre todos os possíveis.
A Natureza utiliza-se de processos eficientes sem excesso de energia nem perda de tempo. Entender isso, é muito importante para o pesquisador, qualquer que seja o seu campo de conhecimento. Pois não apenas na Física, mas na Química, Biologia, Agronomia e na Agricultura, nas ações na Medicina e nos tratamentos médicos em geral, na Economia e nos processos de produção, nas áreas monetárias e financeiras, na Administração, nas Ciências Humanas, enfim, em todos os campos onde prevaleçam os processos naturais diretos ou indiretos ( com a participação humana ), o objetivo alcançado com o menor dispêndio de tempo e energia, é a própria definição de eficiência. Podemos não entender todos os processos naturais e muitos dos resultados desses processos podem não nos ser agradáveis, mas a natureza é sábia e eficiente. Descobrir os processos onde o Princípio da Ação Mínima possa ser aplicado e como aplicá-lo, certamente que nos proporcionará melhores resultados e esse é um caminho ao qual teremos que aprender a trilhar, se quisermos realmente resolver nossos problemas ou mesmo evitá-los.
Recife,
Fevereiro/ 2005
J.R. Araújo
e-mail - zecaro108@yahoo.com.br
______________________________
Referências e Créditos
George Arfken, Mathematical Methods for Physicists - second edition, Academic Press Inc. New York, 1970
L. Landau e E. Lifchitz, Curso de Mecânica - HEMUS Livraria Editora Ltda. São Paulo
Eugene Butkov, Física Matemática - Editora Guanabara Dois S.A. Rio de Janeiro - 1978
Fotografias de Euler e Lagrange - www-groups.dcs.st-and.ac.uk
Fotografia da queda d'água - www.wimble.org
_________________________________________________________
© Copyright 2005/2010 - Todos os direitos reservados. Proibida a reprodução do
texto aqui contido sem a prévia autorização do autor.